Quelle est la différence entre une fonction trigonométrique et une fonction hyperbolique?


Réponse 1:

Quelle est la différence entre la fonction hyperbolique et la fonction trigonométrique?

La réponse la plus simple est

  • thetrigonometricalfunctionsarebasedonthecartesiancoordinatesofpointsontheunitcirclex2+y2=1thehyperbolicfunctionsarebasedonthecartesiancoordinatesofpointsontherectangularhyperbola[math]x2y2=1[/math].the trigonometrical functions are based on the cartesian coordinates of points on the unit circle x^2 + y^2 = 1the hyperbolic functions are based on the cartesian coordinates of points on the rectangular hyperbola [math]x^2 - y^2 = 1[/math].

Butyouhavetodefinetheargumentsintherightway.Theangleoftheliney=kxtothe[math]x[/math]axis,measuredinradiansisthelengthofthecorrespondingarcofthecircle,so[math]k=tan(θ)[/math].Theangleisalsotwicetheareaofthecorrespondingsectorofthecircle.But you have to define the arguments in the right way. The angle of the line y = kx to the [math]x[/math] axis, measured in radians is the length of the corresponding arc of the circle, so [math]k = \tan(\theta)[/math]. The angle is also twice the area of the corresponding sector of the circle.

  • thehyperbolicfunctionsarebasedonthecartesiancoordinatesofpointsontherectangularhyperbolax2y2=1.the hyperbolic functions are based on the cartesian coordinates of points on the rectangular hyperbola x^2 - y^2 = 1.

Thecloserelationshipbetweenthetwoequationsmeansthatmanyoftheformulaearealsocloselyrelated.Forinstancecos2(θ)+sin2(θ)=1becomes[math]cosh2(θ)sinh2(θ)=1[/math].Itisusuallythe[math]sinh[/math]functionforwhichanegativesignappears.The close relationship between the two equations means that many of the formulae are also closely related. For instance \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 becomes [math]\cosh^2(\theta) - \sinh^2(\theta) = 1[/math]. It is usually the [math]\sinh[/math] function for which a negative sign appears.

y=kxy = kx

tothexaxis,measuredinradiansisthelengthofthecorrespondingarcofthecircle,so[math]k=tan(θ)[/math].Theangleisalsotwicetheareaofthecorrespondingsectorofthecircle. to the x axis, measured in radians is the length of the corresponding arc of the circle, so [math]k = \tan(\theta)[/math]. The angle is also twice the area of the corresponding sector of the circle.

Pour une hyperbole, la longueur de l'arc est assez compliquée. Les fonctions hyperboliques utilisent à la place deux fois la zone correspondante.

La relation étroite entre les deux équations signifie que de nombreuses formules sont également étroitement liées. Par exemple

cos2(θ)+sin2(θ)=1\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1

becomescosh2(θ)sinh2(θ)=1.Itisusuallythe[math]sinh[/math]functionforwhichanegativesignappears. becomes \cosh^2(\theta) - \sinh^2(\theta) = 1. It is usually the [math]\sinh[/math] function for which a negative sign appears.


Réponse 2:

En plus d'être définies différemment, les fonctions hyperboliques ne sont pas périodiques et le sinus hyperbolique (sinh) et le cosinus hyperbolique (cosh) ne sont pas limités aux réels. Vous pouvez obtenir les représentations en série de puissance de sinh x et de cosh x en mettant respectivement + signe sur tous les termes dans les extensions de sin x et de cos x. Ils satisfont de nombreuses relations similaires à celles satisfaites par les fonctions trigonométriques.