Pourriez-vous expliquer la différence entre les équations vectorielles, les équations paramétriques et les équations cartésiennes?


Réponse 1:

Je vais utiliser l'équation d'un avion

R3\R^3

par exemple.

L'équation la plus générale d'un avion sous forme cartésienne est

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Ce n'est qu'une équation algébrique. les équations cartésiennes ne sont que des polynômes multivariés (et non l'inverse). Si vous souhaitez analyser l'ensemble des zéros de cette équation et représenter graphiquement ces zéros dans

R3\R^3

, alors vous obtiendrez un avion.

L'équation vectorielle d'un avion est

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Ceci est juste une équation impliquant des vecteurs. Ici

v0\vec{v_0}

est un point dans l'avion et

v1\vec{v_1}

et

v2\vec{v_2}

sont des vecteurs directeurs (deux vecteurs linéairement indépendants qui se trouvent dans le plan). La deuxième équation est juste l'équation vectorielle développée sous forme de matrice en utilisant les coordonnées des vecteurs par rapport à la base standard de

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

L'équation paramétrique d'un avion est la suivante

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Il décrit chaque coordonnée en fonction de deux paramètres

ss

et

tt

.